رياضيات

الرياضيات علم مواضيعه مفاهيم مجردة والاصطلاحات الرياضية تدل على الكم، والعدد يدلّ على كمية المعدود والمقدار قابل للزيادة أو النقصان وعندما نستطيع قياس المقدار نطلق عليه اسم الكم. لذلك عرف بعض العلماء الرياضيات بأنه علم القياس. تعتبر الرياضيات لغة العلوم إذ إن هذه العلوم لا تكتمل إلا عندما نحول نتائجها إلى معادلات ونحول ثوابتها إلى خطوط بيانية.

إقليدس الرياضياتي اليوناني في القرن الثالث ق. م، كما تخيله رفائيل في لوحته المعروفة بمدرسة أثينا

تعرف الرياضيات بأنها دراسة القياس والحساب والهندسة. هذا بالإضافة إلى المفاهيم الحديثة نسبياً ومنها البنية، الفضاء أو الفراغ، والتغير والأبعاد. وبشكل عام قد يعرفها البعض على أنها دراسة البنى المجردة باستخدام المنطق والبراهين الرياضية والتدوين الرياضي. وبشكل أكثر عمومية، قد تعرف الرياضيات أيضاً على أنها دراسة الأعداد وأنماطها.

ولقد نشأت الرياضيات بقيام الإنسان بقياس ما يشاهده من ظواهر الطبيعة بناء على فطرة وخاصية في الإنسان ألا وهي اهتمامه بقياس كل ما حوله إلى جانب احتياجاته العملية فهكذا كان هناك ضرورة لقياس قسمة المقوتة (الطعام) بين أفراد العائلة وقياس الوقت والفصول والمحاصيل الزراعية تقسيم الأراضي وغنائم الحملات الحربية والمحاسبة للتمكن من الإتجار إلى جانب علم الملاحة بالنجوم في السفر والترحال للتجارة والاستكشاف والقياسات اللازمة لتشييد الأبنية والمدن.

وهكذا فإن البنى الرياضية التي يدرسها الرياضيون غالبا ما يعود أصلها إلى العلوم الطبيعية، وخاصة علم الطبيعة، ولكن الرياضيين يقومون بتعريف ودراسة بنى أخرى لأغراض رياضية بحتة، لأن هذه البنى قد توفر تعميما لحقول أخرى من الرياضيات مثلا، أو أن تكون عاملا مساعدا في حسابات معينة، وأخيرا فإن الرياضيين قد يدرسون حقولا معينة من الرياضيات لتحمسهم لها، معتبرين أن الرياضيات هي فن وليس علما تطبيقيا.

فللرياضيات دور بارز في علوم المادّة (أي الفيزياء والكيمياء) وعلم الأحياء (البيولوجيا)، فضلاً عن دوره المتميز في العلوم الإنسانية.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 التاريخ

 التطور

المقالة الرئيسية: تاريخ الرياضيات

Greek mathematician Pythagoras (c. 570 – c. 495 BC), commonly credited with discovering the Pythagorean theorem

Mayan numerals

تطلبت المراحل الأولى من التطور الثقافي الإنساني نشوء حساب الأعداد الطبيعية، الذي توصل، في مرحلة ما، إلى تطبيق العمليات الحسابية الأربع على الأعداد الطبيعية. وقد أدت متطلبات القياس (لكميات الحبوب، وأطوال الطرق) إلى ظهور تسميات وترميزات لأبسط الأعداد الكسرية، وإلى ابتكار طرائق لإجراء العمليات الحسابية على الكسور. وهكذا نشأ أقدم علوم الرياضيات، وهو علم الحساب arithmetic، ثم إن قياسات المساحات والحجوم، ومتطلبات علم الفلك في وقت لاحق، قادت إلى نشوء علم الهندسة geometry. وقد تطور هذان العلمان عند كثير من الشعوب بسرعة، كل منها باستقلال عن الآخر. وقد كان لتجمع المعلومات الحسابية والهندسية، لدى المصريين والبابليين، أهمية بالغة في تطور العلوم فيما بعد. وتجدر الإشارة إلى أنه في سياق تطوير التقنيات الحسابية من قبل البابليين، توصلوا، أثناء محاولاتهم معالجة بعض المسائل الفلكية، إلى بعض الأفكار الجبرية والمثلثاتية.

 الرياضيات الابتدائية

بعد تجميع قدر كبير من المعارف والتقنيات الرياضية، وخاصة ما يتعلق منها بأساليب إجراء الحسابات، وبطرق تعيين المساحات والحجوم، غدت الرياضيات علماً قائماً بذاته، وبرزت حاجة ملحة إلى تطوير مفاهيمه الأساسية تطويراً منهجياً، وإعطائه صيغة عامة قدر الإمكان. وفيما يتعلق بالحساب والجبر، فقد ظهر الاهتمام بهما بوضوح في بابل. لكن اليونان القديمة كانت أوضح في بناء علم الرياضيات على أسس منهجية تعتمد على المنطق. هذا وإن إنشاء قدماء اليونان للنظام، الذي بنوا عليه الهندسة الابتدائية، غدا القاعدة التي استند إليها النظام الاستنتاجي، الذي كان النهجَ الأساسيَّ للعلوم الرياضية أكثر من ألفي سنة. أما علم الحساب، فتطور تدريجياً إلى نظرية الأعداد. وقد تبين أن مفهوم العدد الحقيقي (الذي برز في سياق عملية قياس المقادير) يتطلب إجراءات طويلة ومعقدة. وفي الحقيقة، فإن مفهومي العدد الأصم، والعدد السالب ينتسبان إلى تجريدات رياضية أعقد، لأنه لا يوجد نموذج واضح لهما في عالمنا الفيزيائي، خلافاً لمفاهيم العدد الطبيعي، والعدد الكسري، والشكل الهندسي. أما علم الجبر، الذي يستعمل الحروف في الحسابات، فقد غدا علماً قائماً بذاته في أواخر القرن السابع عشر، وهو التاريخ الذي شهد نهاية عصر الرياضيات الابتدائية، وانتقال مركز ثقل اهتمام الرياضيات إلى موضوع القيم المتغيرة.

 رياضيات القيم المتغيرة

في القرن السابع عشر، بدأ عصر جديد للرياضيات، فالعلاقات الكمية والنماذج الفضائية، التي كانت الموضوع الرئيسي للرياضيات، لم تُدْرس بالاستعانة بالأعداد، أو بالأشكال الهندسية. وقد سيطر على الفكر الرياضي آنذاك مفهوما الحركة والتغير، وتضمّن علم الجبر أفكاراً، ولو أنها مستترة، عن تبعية بعض المقادير لأخرى متغيرة (كتبعية مجموع عدة حدودٍ لقيم هذه الحدود، وغير ذلك). وبمرور الوقت، كان لا بد من تقديم مفهوم الدالة (التابع)، الذي أدى فيما بعد، نفس الدور الأساسي الذي قام به فيما سبق مفهوم المقدار أو العدد. وقد قادت دراسة المقادير المتغيرة، والعلاقات الدالية فيما بعد، إلى ظهور مفاهيم أساسية في التحليل الرياضي، أدت بدورها إلى بروز فكرة اللانهاية، وإلى بروز مفاهيم النهاية، والمشتق، وحساب التكامل. وغدت القوانين الأساسية في الميكانيك والفيزياء تصاغ باستعمال معادلات تفاضلية. وتمثل مكاملة هذه المعادلات واحداً من أهم المواضيع التي تتناولها الرياضيات.

وفي نهاية القرن السابع عشر، برز فرع مهم للعلوم الرياضية أطلق عليه اسم «حسبان التغيرات». أسس هذا الفرع الرياضيان السويسريان جاك برنولي، وجان برنولي، والعالم الشهير إسحق نيوتن، والرياضي الألماني ل. أولر L.Euler، والرياضي الشهير ج. لاگرانج J.Lagrange. كان أول موضوع تناوله «حسبان التغيرات» هو إيجاد القيم العظمى أو الصغرى للتكاملات المحددة. وكمثال على ذلك، إيجاد المنحني الذي يقع في مستو شاقولي، والذي يصل بين نقطتين غير واقعتين على مستقيم رأسي واحد، بحيث تكون المدة، التي يستغرقها الجسم للوصول من النقطة العليا إلى الدنيا، أقصر ما يمكن. (وكان الحل هو منحنيا سيكلوئيديا cycloide).

إن الموضوعات التي يتناولها علم الهندسة أخذ في التوسع أيضاً، بعد ما أُدخلت فيها أفكار تتعلق بحركة الأشكال وتحويلاتها. ففي الهندسة الإسقاطية، مثلاً، تكوّن حركة التحويلات الإسقاطية للمستوي والفضاء موضوعاً هاماً لعلم الهندسة. وتجدر الإشارة إلى أن التطور الواعي لمثل هذه الأفكار، لم يحدث إلا بحلول نهاية القرن الثامن عشر وبداية القرن التاسع عشر. وفي وقت أبكر، رافق تأسيس الهندسة التحليلية، في القرن السابع عشر، تغير جذري في العلاقة بين الهندسة وباقي الفروع الرياضية: فقد وجد أسلوب شامل لترجمة المسائل الهندسية إلى لغة الجبر والتحليل، ومن ثم حلها باستعمال طرق جبرية وتحليلية. ومن جهة أخرى، توافرت إمكانات فعالة لتمثيل الحقائق الجبرية والتحليلية هندسياً، كالتمثيل البياني للتبعيات الدالية.

 النظام المسلماتي

الطريقة المسلماتية axiomatic method: يتكوّن النظام المسلماتي axiomatic system، الذي تبنى عليه النظريات theories العلمية، وخاصة الرياضية، من العناصر الآتية:

1- المفاهيم concepts،

2- التعاريف definitions،

3- المسلّمات axioms (أو البديهيات postulates).

4- الدعاوى propositions (أو المبرهنات theorems، أو القضايا statements).

5- البراهين proofs على صحة الدعاوى.

وأما المفاهيم، فهي أشياء رياضية لا يمكن تقديم تعريف لها، مثل: النقطة، والمستقيم، والمجموعة، وغيرها.

أما التعاريف، فمهمتها إيضاح المقصود من بعض المصطلحات المستعملة، مثل القطعة المستقيمة والدائرة، والدالة (التابع)، والزمرة، وغيرها.

وأما المسلّمات، فهي قضايا تقبل دون برهان، مثل مسلّمات إقليدس (الواردة في بند لاحق). لا يوجد ضرورة للتثبت من صحة المسلّمات، حتى إثارة السؤال عن صحتها، أمر لا فائدة منه، بل ولا معنى له، ذلك أنه ليس لها أي وجود، عموماً، في عالم الواقع.

الدعوى (المبرهنة) قضية رياضية مثبتة، وسيتم التطرق إليها وإلى البرهان بشيء من التفصيل في سياق البنود اللاحقة.

تكمن قوة الطريقة المسلّماتية في أنها تسمح ببناء نظرية ضخمة، انطلاقاً من عدد قليل من الافتراضات، التي لا بد أن تتحقق كل النتائج المترتبة عليها.

إن الفكرة التي مؤداها أن النظام المسلّماتي منفصل عن العالم الواقعي، تكوّنت منذ مدة ليست ببعيدة. ومع أن اليونان القدماء، الذين أبدعوا مسلّمات علم الهندسة، كانوا يظنون أنهم يعبّرون عن حقائق فيزيائية أصيلة، فإن بعضها كان له طبيعة مثالية غير واقعية، وبالطبع، كانت تعد المسلّمة حقيقة واضحة، لا تتطلب إثباتاً. وجدير بالذكر أن المعجمات الحالية تعرّفها بهذه الطريقة. لكن هذه الكلمة أخذت في الرياضيات معنى مختلفاً تماماً، وكل من درس نظرية الزمر، مثلاً، يلاحظ أن المسلّمات التي بنيت عليها هذه النظرية ليست واضحة مطلقاً.

مسلّمات إقليدس: كان إقليدس هو الذي وضع مسلّمات الهندسة، التي تسمى باسمه. أهم هذه المسلّمات هي:

1- يمكن رسم مستقيم يمر بأي نقطتين،

2- لكل مستقيمين نقطة مشتركة واحدة على الأكثر،

3- يمكن تمديد كل قطعة مستقيمة محدودة بلا قيود،

4- حول أي نقطة، يمكن رسم دائرة طول نصف قطرها اختياري،

5- كل الزوايا القائمة متساوية،

6- لكل مستقيم، ولكل نقطة غير واقعة عليه، يوجد مستقيم يوازي المستقيم الأول ويمر بالنقطة المعطاة، وهذا المستقيم وحيد.

(هذه الصيغ ليست متطابقة تماماً مع تلك التي نص عليها إقليدس!)

وفي أثناء مدة طويلة، كان يُظَنُّ أن المسلّمة (6) ليست مسلّمة بحق، ذلك أنها غير واضحة إطلاقاً، في الوقت الذي كان يعتقد فيه أن معيار قبول المسلّمة هو وضوحها. وقد أُجريَ عدد كبير من المحاولات لإثبات صحتها استناداً إلى المسلّمات الأخرى، لكن كل هذه المحاولات منيت بالإخفاق.

وقد تبين في وقت لاحق أن إثبات المسلّمة (6) أمر مستحيل. لكن إليكم السؤال المهم الآتي: «هل هذه المسلّمة حقيقية في العالم الواقعي؟» هذا السؤال يخرج عن إطار الرياضيات. فلكي يُجاب عنه، لا بد من القيام بتجربة، لنتصور، مع ذلك، أن هذه التجربة نفذها اليونان القدماء، فقاموا برسم مستقيمين «متوازيين»، وليكونا، مثلاً، خطي طول، أحدهما يمر بروما والآخر بأثينا. عندئذٍ سيستنتجون أن هذين الخطين يتلاقيان في القطب الشمالي، ومن ثم كان بإمكانهم الحكم على مسلّمة التوازي بأنها غير صحيحة. لكن الحقيقة هي أن في الأمر خدعة، ذلك أننا نعرف أن الكرة الأرضية كروية، وهندسة إقليدس تصح في المستوي وليس على الكرة.

كان من الممكن إجراء تجربة أدق باستعمال أشعة الليزر، أو أي وسيلة ملائمة أخرى. فبتوجيه أشعة ليزرية إلى الفضاء بين النجميّ، وجعْلها متوازية قدر المستطاع، يمكن معرفة ما إذا كانت هذه الأشعة تتقاطع. لكن مثل هذه التجربة لا يمكن تنفيذها بإمكاناتنا الحالية.

 الانسجام (الاتساق)

جاء في البند الأول أن عالم الرياضيات ج. هويل ذكر ضرورة اتسام الفرضيات التي يُبنى عليها أي نظام رياضي بالانسجام (الاتّساق). وفي هذا البند، سنورد شرحاً أكثر تحديداً ودقة لما يعنيه هذا المصطلح.

عند الشروع في صوغ نظرية مسلّماتية، فلا يوجد تحت تصرفك سوى مسلّمات. عندئذٍ تستند إلى هذه المسلّمات لإثبات مبرهنة ما، ثم تطبق هذه المبرهنات لإثبات مبرهنة أخرى. وهكذا تغدو المسلّمات مصدراً لعدد كبير من المبرهنات، كل منها يبنى في نهاية الأمر على تلك المسلّمات.

كل شيء يسير حتى الآن سيراً حسناً، ما لم تجد في طريقك مبرهنتين تناقض إحداهما الأخرى. أما إذا أمكن في نظرية إثبات وجود تناقض بين مبرهنتين، فإن النظرية كلها تكون غير سليمة، وعندئذٍ يمكن أن تثبت فيها أي شيء.

وعندما قام ذات يوم الرياضي المشهور ج. هاردي G.Hardy بتقديم هذه الملاحظة عند تناوله طعام الغداء مع بعض زملائه، أصرّ أحد الحاضرين على هاردي إثبات أنه «إذا كان 2+2= 5، فإن أحد الحاضرين، واسمه ماك ـ تاكرت، هو البابا». عندئذٍ فكر هاردي قليلاً وأجاب السائل بالعبارات الآتية: «نحن نعلم أن 2+2=4، إذن 5=4. وبطرح 3 من طرفي هذه المساواة نجد 2=1. ماك ـ تاكرت والبابا رجلان، إذن ماك تاكرت والبابا رجل واحد».

إن نظام المسلّمات، الذي لا يمكن أن يُستنتجَ منه دعاوى متناقضة، يسمى نظاماً منسجماً (أو متسقاً). والانسجام هو أهم خاصة من خواص أي نظام مسلّماتي. وقد كان أول من لفت الانتباه إلى أهميته الرياضي الألماني الشهير د. هلبرت D.Hilbert، مؤسس المسلّماتية الشكلية formal axiomatics الحديثة. وقد وجد هلبرت أن إجراء تغييرات طفيفة جداً في نظام منسجم قد تحوله إلى نظام غير منسجم، وأن عدم الانسجام في النظام الجديد لا يمكن كشفه إذا لم يُعرف سلفاً أين يجب أن يبرز عدم الانسجام.

التمام والاستقلال completeness and independence: صاغ هلبرت أيضاً خاصتين أُخْرَيَيْن هامتين للنظم المسلّماتية وهما: التمام والاستقلال. وقد جرى التطرق في البند الأول إلى خاصة التمام التي تحدث عنها، دون أن يذكرها صراحة، الرياضيان داربو وهويل. أما في هذا البند، فستُعرض هذه الفكرة بصيغة أكثر تحديداً ودقة. وبغية إيضاح ما يعنيه التمام، لا بد من إيراد معنى البرهان proof في النظام المسلّماتي. فإذا كانت (و) دعوى معينة في هذا النظام، فإن برهانها هو سلسلة منتهية finitie من الدعاوى، كل منها هو مسلّمة أو نتيجة منطقية لبعض الدعاوى السابقة في هذه السلسلة، بحيث تكون (و) آخر دعوى في هذه السلسلة. ويكون النظام تاماً إذا وجد لكل دعوى (و) إما برهان عليها، وإما برهان على نفيها(~ و). وبعبارة أخرى، يجب أن يوجد في جعبتنا عدد من المسلّمات يكفي للبرهان على صحة أو خطأ أي دعوى ممكنة في ذلك النظام.

وفي نظام تام لا يمكن بأي حال من الأحوال إضافة مسلّمة أخرى، فأي مسلّمة أخرى، إما أن تكون نتيجة للمسلّمات الموجودة (أي زائدة وغير ضرورية)، وإما أن تؤدي إضافتها إلى النظام جعلَه متناقضاً (أي أنه يصبح بلا معنى).

تسمى مجموعةٌ من المسلّمات مستقلة، إذا لم يكن بالإمكان استنتاج أي منها من المسلّمات الأخرى.

إن إثبات تمام نظام (إذا كان تاماً فعلاً) ليس بالأمر السهل غالباً. بيد أن ثمة طرائق بسيطة تسمح بإثبات استقلال نظام (في ظروف ملائمة)، بل وإثبات انسجامه أحياناً. وهذه الطرائق تتعلق بمفهوم ما يسمى بنموذج model النظام المسلّماتي، لكننا لن نتوقف عند هذا الموضوع.

 تعريفات الرياضيات

المقالة الرئيسية: تعريفات الرياضيات

الرياضيات هي العلم الذي يدرس العلاقات بين بعض الأشياء المجردة ضمن شرط وحيد، وهو ألاّ يؤدي تعريف هذه الأشياء إلى تناقضات.

وقد عُرّفَتِ الرياضيات مدة طويلة بأنها علم الكميات، التي تقسمها الرياضيات إلى عدة فروع تبعاً لطبيعة هذه الكميات. ويُمَيَّزُ من هذه الفروع، في المقام الأول، الحساب، والهندسة، والميكانيك، والرياضيات الفيزيائية، وحساب الاحتمالات. ويوجد بين هذه الفروع المختلفة رابطة مشتركة، هي الجبر.

لا بد من الإقرار بأن المصطلحات المستعملة في الرياضيات لم تكن دقيقة دوماً، ثم إنها عرضة للتغيرات مع الزمن. فالتعريف التقليدي، الذي قدمه للرياضيات عام 1691 الرياضي الفرنسي ج. أوزانام (1640ـ1718) J.Ozanam، الذي ينص على أن «الرياضيات هي العلم الذي يدرس كل ما يمكن قياسه أو حسابه»، يعد ضمناً أن النواة المركزية للعلوم الرياضية هي الهندسة والجبر. وكأن هذا التعريف يشير إلى أن جذور الرياضيات موجودة في كتاب «الأصول» Elements الذي كتبه إقليدس (330 ـ 270 ق.م.)، والذي يعالج بالضبط هذين الموضوعين الأساسيين.

بحلول القرن الثامن عشر، قُسّمت الرياضيات إلى رياضياتٍ بحتةٍ pure mathematics، لا تتطلب سوى التفكير والمحاكمة، ورياضياتٍ مختلطة mixed mathematics، يصفها أوزانام بأنها «تلك الرياضيات التي تدرس خواص الكميات المرتبطة بموضوعات حساسة، والتي لا تستغني عن التجربة». وهذه الرياضيات المختلطة مرتبطة، في معظمها، بالعلوم الرياضية ـ الفيزيائية. وقد قسم بعض الرياضيين في ذلك الوقت الرياضيات إلى نظرية theoretical، وعملية practical، وَوُصفَتِ الأخيرةُ بأنها فنّ إجراء الحسابات، أو فنّ قياس المساحات.

بحلول عام 1800 تقريباً، صار الرياضيون يفضّلون استعمال مصطلح الرياضيات التطبيقية على مصطلح الرياضيات المختلطة. ومع ذلك، ظل التمييز بين الرياضيات البحتة والتطبيقية يفتقر إلى الدقة. فالهندسة، التي طالما اعتُبرت علماً للفضاء الفيزيائي، والتي كانت في البداية أساساً للرياضيات البحتة، صارت فيما بعد تطبيقاً لها. وبالعكس، فحساب الاحتمالات، الذي صُنِّف في الماضي ضمن الرياضيات التطبيقية، أصبح اليوم منتسباً إلى الرياضيات البحتة، بفضل وضع مسلَّمات axioms له من قبل الرياضي الروسي أ. كولموگوروڤ A.Kolmogorov عام 1933. أما علم الإحصاء، فبقي في المجال التطبيقي.

وبحلول القرن التاسع عشر، تعرض التعريف التقليدي للرياضيات لهزة عنيفة قبل أن يختفي تماماً. ففي عام 1854، صرّح الرياضي والمنطقي الإنكليزي ج. بول (1815ـ1864) G.Boole بأن الأفكار المتعلقة بالعدد والكميات لا تستغرق علم الرياضيات كله، إذ يجب إدخال المنطق logic ضمن هذا العلم، وهذه فكرة قبلها الرياضيون حتى أيامنا هذه.

وفي عام 1874 شدد گ. داربو (1842ـ1917) G.Darboux على إحدى الضرورات التي يجب أن يحققها النظام الرياضي بقوله: «يجب التقيد بقانون مضاعف، وهو التعريف الدقيق للفرضيات التي يُبنَى عليها النظام، وعدم تقديم ما هو غير ضروري منها، وذلك لبلوغ الدّقة النظرية التي يراد التوصل إليها.» وقد كتب صديقه ج. هويل (1823ـ1886) J.Hoüel عام 1878، في مقدمة كتابه الذي يبحث في حساب اللامتناهيات في الصغر، ما يأتي: «لا بد للعلم المجرد أولاً أن تكون الفرضيات الأولية الموضوعة له منسجمة (متّسقة) (compatible) consistent، وأن تكون غير قابلة للاختزال إلى قسم أصغر منها. كل علم مؤسس على فرضيات تفي بهذين الشرطين، هو علم سليم تماماً من وجهتي النظر العقلية والتجريدية».

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 الإلهام، الرياضيات البحتة والتطبيقية، وعلم الجمال

المقالة الرئيسية: جمال رياضياتي

إسحاق نيوتن (يسار) وگوتفريد لايبنتز (يمين) مطورو التفاضل والتكمل.

 التدوين، اللغة والصرامة

Leonhard Euler, who created and popularized much of the mathematical notation used today

 فروع الرياضيات

انظر أيضاً: فروع الرياضيات and مسرد فروع الرياضيات

An abacus, a simple calculating tool used since ancient times

 الأسس والفلسفة

$p\Rightarrow q\,$
Mathematical logic	Set theory	Category theory	Theory of computation

 الرياضيات البحتة

قد تقسم الرياضيات إلى فروع حسب موضوع الدراسة الأساسي.

 الكمية

$1,2,\ldots$	$0,1,-1,\ldots$	${\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},0.125,\ldots$
أعداد طبيعية	أعداد صحيحة	أعداد كسرية
$\pi ,e,{\sqrt {2}},\ldots$	$i,3i+2,e^{i\pi /3},\ldots$
أعداد حقيقية	أعداد مركبة أو عقدية

عدد – عدد طبيعي – عدد صحيح – عدد كسري – عدد حقيقي – عدد عقدي – عدد فوق عقدي – كواتيرنيون – اوكتونيون – سيدينيون – عدد فوق حقيقي – عدد حقيقي فائق – عدد ترتيبي – عدد كمي – عدد بي – متوالية صحيحة – ثابت رياضي – أسماء الأعداد – اللانهاية – الأساس (رياضيات)

 البنية

انظر إلى بنية رياضية.

جبر تجريدي – نظرية الأعداد – هندسة جبرية – نظرية المجموعات – مونويد – التحليل الرياضي – الطوبولوجيا – الجبر الخطي – نظرية المخططات – الجبر الشامل – نظرية الزمر – نظرية الترتيب – نظرية القياس

${\begin{matrix}(1,2,3)&(1,3,2)\\(2,1,3)&(2,3,1)\\(3,1,2)&(3,2,1)\end{matrix}}$
توافقيات	نظرية الأعداد	نظرية الزمر	نظرية المخططات	نظرية الترتيب

 الفضاء

قد يسمى الفضاء أيضا فراغا.

طوبولوجيا	هندسة رياضية
هندسة تفاضلية	علم المثلثات
هندسة كسيرية

طوبولوجيا – هندسة رياضية – علم المثلثات – هندسة جبرية – هندسة تفاضلية – طبولوجيا تفاضلية – طوبولوجيا جبرية – جبر خطي – هندسة كسيرية

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 التغير

$36\div 9=4$
حساب	تكامل
تكامل شعاعي
$\int 1_{S}\,d\mu =\mu (S)$	${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}y={\frac {d}{dx}}y+c$
تحليل رياضي	معادلات تفاضلية
جمل متحركة (ديناميكية)	نظرية الشواش

الحساب – علم الحسبان – الحسبان الشعاعي – التحليل الرياضي – معادلات تفاضلية – جمل متحركة – نظرية الشواش – قائمة الدوال (التوابع)

 الرياضيات التطبيقية

تدرس الرياضيات التطبيقية الطرق والوسائل الرياضية التي تستعمل في مجالات أخرى كالهندسة والعلوم والأعمال والصناعة. ترتبط الرياضيات التطبيقية ارتباطا كبيرا بالرياضيات البحتة.

قد تضم الرياضيات التطبيقية مجالات الميكانيك والتحليل العددي والاستمثال الرياضي والرياضيات الاقتصادية ونظرية الألعاب والبيولوجيا الرياضية وعلم التعمية ونظرية المعلومات وميكانيك السوائل.

 الإحصاء وعلوم أخرى مساعدة على اتخاد القرارات

للرياضيات التطبيقية تداخل مع تخصص الإحصاء حيث تعتمد نظريته على الرياضيات وخصوصا نظرية الاحتمال.

 الرياضيات الحسابية

تدرس الرياضيات الحسابية طرق حلحلة المعضلات الرياضية التي تتطلب قدرات حسابية تفوق القدرة الإنساية. التحليل العددي يأتي في هذا الاتجاه.

 الإحصاء وعلوم أخرى مساعدة على اتخاد القرارات

للرياضيات التطبيقية تداخل مع تخصص الإحصاء حيث تعتمد نظريته على الرياضيات وخصوصا نظرية الاحتمال.

 الرياضيات الحسابية

تدرس الرياضيات الحسابية طرق حلحلة المعضلات الرياضية التي تتطلب قدرات حسابية تفوق القدرة الإنساية. التحليل العددي يأتي في هذا الاتجاه.

Mathematical physics	Fluid dynamics	Numerical analysis	Optimization	Probability theory	Statistics	Cryptography
Mathematical finance	Game theory	Mathematical biology	Mathematical chemistry	Mathematical economics	Control theory

 تقسيم أولى لفروع الرياضيات

العالم المسلم الخوارزمي مؤسس علم الجبر

من الرياضيات البحتة

• من فروع المنطق :
• المنطق المجرد.
• الجبر المنطقي أو الجبر البولياني وينبع منه
• منطق القضايا.
• منطق الرتبة الأولى يحتوى هذا الفرع على القواعد والأصول اللازمة لصياغة نظريات الذكاء الاصطناعي وهو يعتمد بدوره على مبادئ المنطق البولياني ومنطق القضايا.
• المنطق الوقتي.
• المنطق الضبابي.
• نظرية الاعتقاد.
• المنطق القافي.

• من فروع الرياضيات المتقطعة:
• اللغات الشكلية ونظرية الآليات
• نظرية المخططات وهي دراسة نظم ذات بنية شبكية وتتضمن على دراسة الشبكات وعبور المخططات والشجر وأطياف المخططات وغير ذلك.
• نظرية المجموعات المبسطة.
• نظرية الأعداد.

• من فروع الجبر:
• جبر الأعداد الحقيقية (الجبر والمقابلة للخوارزمي).
• الجبر المجرد (يشتمل على القواعد المنطقية لحساب مختلف مجموعات الأعداد مثل حساب الأعداد الحقيقية والمركبة إلخ)
• نظرية الزمر.
• حساب المجموعات (الفئات).
• حساب المتتاليات.
• حساب المتجهات.
• الجبر الخطي.
• حساب المصفوفات.
• جبر بول
• ما وراء الرياضيات : ويشتمل ذلك على سبيل المثال على نظرية جودل وبحوث هيلبرت وبرتراند راسل حول تعريف وتبويب بنية الرياضات بأجمعها.

• من فروع الهندسة:
• الهندسة الإقليدية.
• الهندسة الفراغية.
• الهندسة الإسقاطية.
• حساب المثلثات.
• الهندسة التحليلية.
• الهندسة الجبرية.
• الهندسة التفاضلية.
• الهندسة التضاريسية.
• الهندسة التضاريسية لمجاميع النقاط.
• الهندسة التضاريسية الجبرية.
• نظرية العقد.

• من فروع التحليل:
• الحساب المتناهي (حساب التفاضل والتكامل).
• المعادلات التفاضلية والمعادلات التكاملية.
• تحليل الأعداد الحقيقية.
• التحليل العددي.
• التحليل التوافقي.
• التحليل الدالي.
• نظرية الدالات أو تحليل الدالات المركبة.
• التحليل اللا-قياسي.
• نظرية القياس.

من الرياضيات التطبيقية

• نظرية الألعاب ولها تطبيقات في الاقتصاد وعلوم الإدارة والتخطيط.
• علم الاحتمالات والإحصائيات.
• علم النظم
• نظرية الشواش والنظم اللا- خطية.
• نظرية التحكم الآلي.
• علوم الحاسبات الآلية:
  • نظرية الحوسبة.
  • تحليل الخوارزميات.
  • الذكاء الاصطناعي.
    • التعلم الآلى ويشتمل على
      • نظريات التعلم التوأصلي والشبكات العصبية أو العصبونية.
      • نظريات التعلم التطورى: البرمجة والخوارزميات الوراثية والتطورية.
    • الإثبات الآلى للنظريات.
    • البحث المتوالى والمتوازي وفوز المباريات.
  • تصميم الدارات المنطقية.
  • علم المعلومات أو العلوم المعلوماتية.
  • علم إدارة نظم المعلومات.
  • علوم البرمجيات.
• الاستمثال استمثال تعرف فروع هذا القسم بالبرمجة للإشارة إلى أن المراد هي إيجاد أدنى حلول للمعادلات تحت التحليل مثلا تحليل سيمبلكس.
  • البرمجة الخطية.
  • البرمجة الكاملة.
  • البرمجة المتحركة.
• بحوث العمليات.
• علوم الطبيعة الرياضياتية : وتشمل على فروع العلوم والنظريات الطبيعية التي تعتمد بالأساس في صياغتها على التحليل والبرهنة الرياضية أكثر من قياس التجارب والظواهر الطبيعية ومنها
  • نظرية الكم أو النظرية الكمومية أو علم الحركيات الكمية.
  • الميكانيكا أو الحركيات الإحصائية.
  • ومنها أيضا دراسة حلول الدالات المجهولة في التصميم الهندسي والصناعي والتي تعتمد على حساب المعادلات التفاضلية التي تصف النظم تحت التصميم.
  • ميكانيكا هاملتون.
  • التحليل العددي.
• علم الشفرات.

 الرياضيات المتقطعة

نظرية المجموعات المبسطة	نظرية الحوسبة
علم التعمية	نظرية المخططات

التوافقيات – نظرية المجموعات المبسطة – نظرية الحوسبة– علم التعمية –

 المبرهنات والحدسيات الهامة

مبرهنة فيثاغورث – مبرهنة طاليس –مبرهنة الكاشي –مبرهنة فيرما الأخيرة – حدسية غولدباخ – حدسية التوأمين الأولية – مبرهنة عدم الاكتمال لغودل – حدسية بوانكاريه – قطر كانتور – مبرهنة الألوان الأربعة – قضية زورن المساعدة – هوية اويلر – أطروحة تشرش-تورينگ

فرضية ريمان – فرضية الاستمرارية – P=NP – مبرهنة الحد المركزية – المبرهنة الأساسية في التكامل – المبرهنة الأساسية في الجبر – المبرهنة الأساسية في الحساب – المبرهنة الأساسية في الهندسة الإسقاطية – مبرهنات تصنيف السطوح – مبرهنة گاوس-پونيت

 الرياضيات كعلم

كارل فريدريش گاوس، الشهير بأمير علماء الرياضيات.

انظر أيضا تعريف الرياضيات.
وصف كارل فريدريش گاوس الرياضيات بأنها ملكة العلوم.

يعتقد عدد من الفلاسفة أنه من غير الممكن تخطيىء الرياضيات تجريبيا، وبالتالي، فهي ليست بعلم إذا ما نُظر إلى تعريف كارل بوبر للعلم. ولكن في ثلاثينات القرن العشرين، جاءت مبرهنات عدم الاكتمال لغودل لكي تقنع العديد من علماء الرياضيات بأنه لا يمكن اختزال الرياضيات في المنطق وحده. مما دفع بكارل بوبر إلى الاستنتاج أن أعظم النظريات الرياضية هي، كما هو الحال في الفيزياء والبيولوجيا، فرضية ثم استنتاج استنباطي.

 مشاهير الرياضيات

•  مقالة مفصلة: قائمة علماء الرياضيات

من أهم مطورى الرياضيات القديمة والحديثة:

• إقليدس
• ارخميدس
• فيثاغورس
• طاليس
• الخوارزمي
• إسحاق نيوتن
• غوتفريد لايبنتز
• لابلاس
• بليز باسكال
• هنري بوانكاريه
• جاوس
• ديفيد هيلبرت
• ستيفن باناخ
• ابن الهيثم
• مايكل عطية
• ليونارد أويلر
• كورت گودل
• جون فون نيومان
• برنارد ريمان
• رينيه ديكارت
• جورج كانتور
• جورج بول
• عمر الخيام
• إيمي نويثر
• نوح أحمد حسن

 انظر أيضاً

المقالة الرئيسية: قائمة موضوعات الرياضيات

• الرياضيات والفن
• تعليم الرياضيات
• العلاقة بين الرياضيات والفيزياء
• أهم علماء الرياضيات في العالم المعاصر

 المصادر

• Courant, Richard and H. Robbins, What Is Mathematics? : An Elementary Approach to Ideas and Methods, Oxford University Press, USA; 2 edition (July 18, 1996). ISBN 0-19-510519-2.
• Einstein, Albert (1923). Sidelights on Relativity: I. Ether and relativity. II. Geometry and experience (translated by G.B. Jeffery, D.Sc., and W. Perrett, Ph.D). E.P. Dutton & Co., New York.
• du Sautoy, Marcus, A Brief History of Mathematics, BBC Radio 4 (2010).
• Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics, Sixth Edition, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0.
• Kline, Morris, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, USA; Paperback edition (March 1, 1990). ISBN 0-19-506135-7.
• Monastyrsky, Michael (2001). "Some Trends in Modern Mathematics and the Fields Medal" (PDF). Canadian Mathematical Society. Retrieved 2006-07-28. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help); Invalid |ref=harv (help)
• Oxford English Dictionary, second edition, ed. John Simpson and Edmund Weiner, Clarendon Press, 1989, ISBN 0-19-861186-2.
• The Oxford Dictionary of English Etymology, 1983 reprint. ISBN 0-19-861112-9.
• Pappas, Theoni, The Joy Of Mathematics, Wide World Publishing; Revised edition (June 1989). ISBN 0-933174-65-9.
• Peirce, Benjamin (1881). Peirce, Charles Sanders (ed.). "Linear associative algebra". American Journal of Mathematics (Corrected, expanded, and annotated revision with an 1875 paper by B. Peirce and annotations by his son, C.S. Peirce, of the 1872 lithograph ed.). Johns Hopkins University. 4 (1–4): 97–229. doi:10.2307/2369153. Corrected, expanded, and annotated revision with an 1875 paper by B. Peirce and annotations by his son, C. S. Peirce, of the 1872 lithograph ed. Google Eprint and as an extract, D. Van Nostrand, 1882, Google Eprint. {{cite journal}}: Invalid |ref=harv (help).
• Peterson, Ivars, Mathematical Tourist, New and Updated Snapshots of Modern Mathematics, Owl Books, 2001, ISBN 0-8050-7159-8.
• Popper, Karl R. (1995). "On knowledge". In Search of a Better World: Lectures and Essays from Thirty Years. Routledge. ISBN 0-415-13548-6.
• Riehm, Carl (August 2002). "The Early History of the Fields Medal" (PDF). Notices of the AMS. AMS. 49 (7): 778–782. {{cite journal}}: Invalid |ref=harv (help)
• Sevryuk, Mikhail B. (January 2006). "Book Reviews" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 43 (1): 101–109. doi:10.1090/S0273-0979-05-01069-4. Retrieved 2006-06-24. {{cite journal}}: Invalid |ref=harv (help)
• Waltershausen, Wolfgang Sartorius von (1856, repr. 1965). Gauss zum Gedächtniss. Sändig Reprint Verlag H. R. Wohlwend. ASIN B0000BN5SQ. ISBN 3-253-01702-8. {{cite book}}: Check date values in: |year= (help)

 قراءات إضافية

• Benson, Donald C., The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies, Oxford University Press, USA; New Ed edition (December 14, 2000). ISBN 0-19-513919-4.
• Boyer, Carl B., A History of Mathematics, Wiley; 2nd edition, revised by Uta C. Merzbach, (March 6, 1991). ISBN 0-471-54397-7.—A concise history of mathematics from the Concept of Number to contemporary Mathematics.
• Davis, Philip J. and Hersh, Reuben, The Mathematical Experience. Mariner Books; Reprint edition (January 14, 1999). ISBN 0-395-92968-7.
• Gullberg, Jan, Mathematics – From the Birth of Numbers. W. W. Norton & Company; 1st edition (October 1997). ISBN 0-393-04002-X.
• Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers 2000. – A translated and expanded version of a Soviet mathematics encyclopedia, in ten (expensive) volumes, the most complete and authoritative work available. Also in paperback and on CD-ROM, and online.
• Jourdain, Philip E. B., The Nature of Mathematics, in The World of Mathematics, James R. Newman, editor, Dover Publications, 2003, ISBN 0-486-43268-8.
• Maier, Annaliese, At the Threshold of Exact Science: Selected Writings of Annaliese Maier on Late Medieval Natural Philosophy, edited by Steven Sargent, Philadelphia: University of Pennsylvania Press, 1982.

 وصلات خارجية

• موسوعة الرياضيات (إنجليزية)
• موقع عن الرياضيات(إنجليزية)
• Bogomolny, Alexander: مسائل رياضية. مجموعة من المقالات حول بعض المواضيع الرياضية مع تمثيلات بلغة الجافا.
• Rusin, Dave: أطلس الرياضيات. جولة في فروع الرياضيات المختلفة.
• Weisstein, Eric et al.: عالم الرياضيات:عالم من الرياضيات. موسوعة الرياضيات على الانترنت
• Polyanin, Andrei: علم المعادلات: عالم من المعادلات الرياضية. مصدر هام للرياضيات يركز على الجبر، معادلات تفاضلية نظامية وجزئية(فيزياء رياضية)، تكاملية معادلات رياضية أخرى.
• NRICH مشروع من جامعة كامبردج
• التواصل مع الرياضيات
• كوكب الرياضيات. رياضيات على الشبكة. موسوعة قيد الإنشاء تهتم بالرياضيات الحديثة تحت Uses the GFDL، تسمح بتبادل المقالات مع ويكيبيديا. تستخدم لغة إشارات تيكس TeX
• Mathforge. موقع أخبار يتناول آخر مواضيع الرياضيات والفيزياء والعلوم كافة
• ما وراء الرياضيات. موقع يقدم الرياضيات متصلة مع أسسها
• الرياضيات في الأفلام. دليل لصور و مشاهد ذات علاقة بمواضيع رياضية
• الرياضيات في الخيال. ارتباطات لأعمال خيال علمي ترتبط بالرياضيات أو الرياضيين
• منتدى مساعدة الرياضيات. Aمنتدى للمساعدة و مناقشة المواضيع الرياضية.
• S.O.S. Mathematics Cyberboard موقع مساعدة في الرياضيات
• Mathematician Bibliography تاريخ مفصل و أقوال لأشهر الرياضياتيون.
• منتدى رياضيات الفيزياء
• Mathematics on In Our Time at the BBC. (listen now)
• Encyclopaedia of Mathematics online encyclopaedia from Springer, Graduate-level reference work with over 8,000 entries, illuminating nearly 50,000 notions in mathematics.
• HyperMath site at Georgia State University
• Rusin, Dave: The Mathematical Atlas. A guided tour through the various branches of modern mathematics. (Can also be found at NIU.edu.)
• Polyanin, Andrei: EqWorld: The World of Mathematical Equations. An online resource focusing on algebraic, ordinary differential, partial differential (mathematical physics), integral, and other mathematical equations.
• Cain, George: Online Mathematics Textbooks available free online.
• Tricki, Wiki-style site that is intended to develop into a large store of useful mathematical problem-solving techniques.
• Mathematical Structures, list information about classes of mathematical structures.
• Mathematician Biographies. The MacTutor History of Mathematics archive Extensive history and quotes from all famous mathematicians.
• Metamath. A site and a language, that formalize mathematics from its foundations.
• Nrich, a prize-winning site for students from age five from Cambridge University
• Open Problem Garden, a wiki of open problems in mathematics
• Planet Math. An online mathematics encyclopedia under construction, focusing on modern mathematics. Uses the Attribution-ShareAlike license, allowing article exchange with Wikipedia. Uses TeX markup.
• Some mathematics applets, at MIT
• Weisstein, Eric et al.: MathWorld: World of Mathematics. An online encyclopedia of mathematics.
• Patrick Jones' Video Tutorials on Mathematics
• Citizendium: Theory (mathematics).
• du Sautoy, Marcus, A Brief History of Mathematics, BBC Radio 4 (2010).
• MathOverflow A Q&A site for research-level mathematics

• [1], Mathematics Behind Robotics.

ru-sib:Математика