المبرهنة الأساسية في الجبر

مبرهنة دالمبير-گاوس أو ما يعرف بالمبرهنة الأساسية في الجبر هي مبرهنة رياضية تنص على أن كل متعددة حدود من درجة أكبر أو يساوي 1 بمعاملات من مجموعة الأعداد العقدية $\mathbb {C}$ لها على الأقل جذر في $\mathbb {C}$.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 قيود على أصفار متعددات الحدود

المقالة الرئيسية: خصائص جذور متعددات الحدود

بينما المبرهنة الأساسية في الجبر تنص على نتيجة وجود عام، it is of some interest, both from the theoretical and from the practical point of view, to have information on the location of the zeros of a given polynomial. النتيجة الأبسط في هذا الاتجاه هي is abound on the modulus: all zeros ζ of a monic polynomial $z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}$ satisfy an inequality |ζ| ≤ R_∞، حيث

$R_{\infty }:=1+\max\{|a_{0}|,\ldots ,|a_{n-1}|\}.$

لاحظ أنه، كما هو مذكور، this is not yet an existence result but rather an example of what is called an a priori bound: it says that if there are solutions then they lie inside the closed disk of center the origin and radius R_∞. However, once coupled with the fundamental theorem of algebra it says that the disk contains in fact at least one solution. More generally, a bound can be given directly in terms of any p-norm of the n-vector of coefficients $a:=(a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1}),$ that is |ζ| ≤ R_p, where R_p is precisely the q-norm of the 2-vector $(1,\|a\|_{p}),$ q being the conjugate exponent of p, ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1,$ for any 1 ≤ p ≤ ∞. Thus, the modulus of any solution is also bounded by

$R_{1}:=\max \left\{1,\sum _{0\leq k<n}|a_{k}|\right\},$

$R_{p}:=\left[1+\left(\sum _{0\leq k<n}|a_{k}|^{p}\right)^{\frac {q}{p}}\right]^{\frac {1}{q}},$

for 1 < p < ∞, وبالتحديد

$R_{2}:={\sqrt {\sum _{0\leq k\leq n}|a_{k}|^{2}}}$

(حيث نـُعرِّف a_n لتعني 1، وهو معقول إذ أن 1 هو في الواقع المعامل النوني (n-th) لمتعددة الحدود). حالة متعددة حدود عامة من الدرجة n،

$P(z):=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0},$

تـُختزل طبعاً إلى حالة a monic, dividing all coefficients by a_n ≠ 0. أيضاً في حالة أن 0 ليس جذراً، أي أن a₀ ≠ 0، فإن القيود من أسفل على الجذور ζ تتبع فوراً كقيود من أعلى على ${\tfrac {1}{\zeta }}$, that is, the roots of

$a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n-1}z+a_{n}.$

وأخيراً، فإن المسافة $|\zeta -\zeta _{0}|$ من الجذور ζ إلى أي نقطة $\zeta _{0}$ يمكن تقديرها من أسفل ومن أعلى، برؤية $\zeta -\zeta _{0}$ كأصفار لمتعددة الحدود $P(z+\zeta _{0})$، whose coefficients are the Taylor expansion of P(z) at $z=\zeta _{0}.$

فلنفترض أن ζ هي جذر متعددة الحدود

$z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0};$

لكي نـُثبت المتباينة |ζ| ≤ R_p بإمكاننا، بالطبع، افتراض |ζ| > 1. كتابة المعادلة كالتالي

$-\zeta ^{n}=a_{n-1}\zeta ^{n-1}+\cdots +a_{1}\zeta +a_{0},$

وباستخدام Hölder's inequality نجد

$|\zeta |^{n}\leq \|a\|_{p}\left\|\left(\zeta ^{n-1},\ldots ,\zeta ,1\right)\right\|_{q}.$

والآن، إذا كانت p = 1، فإن

$|\zeta |^{n}\leq \|a\|_{1}\max \left\{|\zeta |^{n-1},\ldots ,|\zeta |,1\right\}=\|a\|_{1}|\zeta |^{n-1},$

وبذلك

$|\zeta |\leq \max\{1,\|a\|_{1}\}.$

في حالة 1 < p ≤ ∞, taking into account the summation formula for a geometric progression, we have

$|\zeta |^{n}\leq \|a\|_{p}\left(|\zeta |^{q(n-1)}+\cdots +|\zeta |^{q}+1\right)^{\frac {1}{q}}=\|a\|_{p}\left({\frac {|\zeta |^{qn}-1}{|\zeta |^{q}-1}}\right)^{\frac {1}{q}}\leq \|a\|_{p}\left({\frac {|\zeta |^{qn}}{|\zeta |^{q}-1}}\right)^{\frac {1}{q}},$

وبذلك

$|\zeta |^{nq}\leq \|a\|_{p}^{q}{\frac {|\zeta |^{qn}}{|\zeta |^{q}-1}}$

وبالتبسيط،

$|\zeta |^{q}\leq 1+\|a\|_{p}^{q}.$

ولذلك

$|\zeta |\leq \left\|\left(1,\|a\|_{p}\right)\right\|_{q}=R_{p}$

تسري لكل حالات 1 ≤ p ≤ ∞.

 انظر أيضا

• تعميل الدوال الحدودية
• المعادلات الحدودية
• مبرهنة گاوس