تقريب سترلنگ

تقريب سترلنگ (أو صيغة سترلنگ) هو صيغة رياضية تستخدم لتقريب قيم العاملي الكبيرة. سمي كذلك نسبة إلى عالم الرياضيات جيمس سترلنگ.

تقريب سترلنگ: النسبة (ln n!) في (n ln n − n) تقترب من الواحد الصحيح بإزدياد n.

(in big O notation). The next term in the O(ln(n)) is (1/2)ln(2πn); a more precise variant of the formula is therefore

Being an asymptotic formula, Stirling's approximation has the property that

Sometimes, bounds for rather than asymptotics are required: one has, for all

so for all the ratio is always between OEISA019727 and OEISA001113.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

الاشتقاق

The formula, together with precise estimates of its error, can be derived as follows. Instead of approximating n!, one considers its natural logarithm as this is a slowly varying function:

 

The right-hand side of this equation minus

 

is the approximation by the trapezoid rule of the integral

 

and the error in this approximation is given by the Euler–Maclaurin formula:

 

where Bk is a Bernoulli number and Rm,n is the remainder term in the Euler–Maclaurin formula. Take limits to find that

 

Denote this limit by y. Because the remainder Rm,n in the Euler–Maclaurin formula satisfies

 

where we use Big-O notation, combining the equations above yields the approximation formula in its logarithmic form:

 

Taking the exponential of both sides, and choosing any positive integer m, we get a formula involving an unknown quantity ey. For m = 1, the formula is

 

The quantity ey can be found by taking the limit on both sides as n tends to infinity and using Wallis' product, which shows that  . Therefore, we get Stirling's formula:

 

The formula may also be obtained by repeated integration by parts, and the leading term can be found through Laplace's method. Stirling's formula, without the factor   that is often irrelevant in applications, can be quickly obtained by approximating the sum

 

with an integral:

 



سرعة التقارب وتقديرات الخطأ

 
The relative error in a truncated Stirling series vs. n, for 1 to 5 terms

Stirling's formula is in fact the first approximation to the following series (now called the Stirling series):

 

An explicit formula for the coefficients in this series was given by G. Nemes.[1] The first graph in this section shows the relative error vs. n, for 1 through all 5 terms listed above.

 
The relative error in a truncated Stirling series vs. the number of terms used

As n → ∞, the error in the truncated series is asymptotically equal to the first omitted term. This is an example of an asymptotic expansion. It is not a convergent series; for any particular value of n there are only so many terms of the series that improve accuracy, after which point accuracy actually gets worse. This is shown in the next graph, which shows the relative error versus the number of terms in the series, for larger numbers of terms. More precisely, let S(n, t) be the Stirling series to t terms evaluated at n. The graphs show

 

which, when small, is essentially the relative error.

Writing Stirling's series in the form:

 

it is known that the error in truncating the series is always of the same sign and at most the same magnitude as the first omitted term.

صيغة سترلنگ بالنسبة لدالة گاما

For all positive integers,

 

where Γ denotes the gamma function.

However, the Pi function, unlike the factorial, is more broadly defined for all complex numbers other than non-positive integers; nevertheless, Stirling's formula may still be applied. If Re(z) > 0 then

 

Repeated integration by parts gives

 

where Bn is the n-th Bernoulli number (note that the infinite sum is not convergent, so this formula is just an asymptotic expansion). The formula is valid for z large enough in absolute value when |arg(z)| < π−ε, where ε is positive, with an error term of   when the first m terms are used. The corresponding approximation may now be written:

 

A further application of this asymptotic expansion is for complex argument z with constant Re(z). See for example the Stirling formula applied in Im(z) = t of the Riemann-Siegel theta function on the straight line 1/4 + it.

A convergent version of Stirling's formula

Thomas Bayes showed, in a letter to John Canton published by the Royal Society in 1763, that Stirling's formula did not give a convergent series.[2]

Obtaining a convergent version of Stirling's formula entails evaluating

 

One way to do this is by means of a convergent series of inverted rising exponentials. If

 

then

 

where

 

where s(nk) denotes the Stirling numbers of the first kind. From this we obtain a version of Stirling's series

 

which converges when Re(z) > 0.

صيغ مناسبة للآلات الحاسبة

التقريب هو:

 

or equivalently,

 

can be obtained by rearranging Stirling's extended formula and observing a coincidence between the resultant power series and the Taylor series expansion of the hyperbolic sine function. This approximation is good to more than 8 decimal digits for z with a real part greater than 8. Robert H. Windschitl suggested it in 2002 for computing the Gamma function with fair accuracy on calculators with limited program or register memory.[3]

Gergő Nemes proposed in 2007 an approximation which gives the same number of exact digits as the Windschitl approximation but is much simpler:[4]

 

or equivalently,

 

An alternative approximation for ln n! was also given by Srinivasa Ramanujan (Ramanujan 1988)

 


التاريخ

اخترع هذه الصيغة عالم الرياضيات ابراهام دى مواڤر على الشكل التالي:

  حيث constant هي ثابتة ما.

أثبت سترلنگ فيما بعد أن هذه الثابتة هي  .

انظر أيضا

مراجع

وصلات خارجية

مواضيع في التحليل الرياضي
ما قبل حساب التفاضل والتكامل

رسم بياني لدالة| دالة خطية| قاطع ( رياضيات )| ميل| مماس| تقعر| إختلاف محدود| راديان| عاملي| مبرهنة ثنائي الحدين| متغيرات مستقلة و متغيرات مرتبطة

النهايات

نهاية دالة| نهاية متسلسلة| شكل غير محدد| جدول النهايات| مراتب التقريب| دالة منطقة مثلثية

حساب التفاضل

إشتقاق| ترميز نيوتن للتفاضل| ترميز لايبنتز للتفاضل| ترميز نقطي للتفاضل|إشتقاق ثابت| قاعدة المجموع في التفاضل| قاعدة العامل الثابت في التفاضل| خطية التفاضل| حساب التفاضل والتكامل لعديد الحدود| إشتقاق (أمثلة)| قاعدة السلسلة| قاعدة الجداء| قاعدة ناتج القسمة| دالات عكسية و تفاضلها| تفاضل ضمني| نقطة ثابتة| حدود عليا وحدود دنيا| إختبار الإشتقاق الأولي| إختبار الإشتقاق الثاني| مبرهنة القيمة المتطرفة| معادلة تفاضلية| معامل تفاضلي| طريقة نيوتن| مبرهنة تايلور| قاعدة اوبيتال | قاعدة لايبنتز| مبرهنة القيمة المتوسطة| إشتقاق لوغاريتمي| تفاضل (رياضيات)| معدلات مترابطة

حساب التكامل

إشتقاق عكسي|تكامل غير محدد|قاعدة المجموع في التكامل| قاعدة العامل الثابت في التكامل| خطية التكامل| ثابت إختياري في التكامل| المبرهنة الأساسية للتكامل| تكامل بالأجزاء| قاعدة المتسلسلة المعكوسة| قاعدة الاستبدال | تفاضل تحت الإشارة التكاملية| استبدال مثلثي| كسور جزئية في التكامل| تكامل من الدرجة الثانية| قاعدة شبه المنحرف

دوال و اعداد خاصة
لوغاريتم طبيعي| إي (ثابت رياضي)| دالة أسية| تقريب ستيرلنج| أعداد بيرنولي
تكامل عددي

قائمة مواضيع التحليل العددي| طريقة مستطيلِ| قاعدة شبه المنحرف| قاعدة سيمبسن| صيغ نيوتن | تربيع غاوسي

قوائم و جداول

جدول الإشتقاقات|جدول الرموز الرياضية|قائمة التكاملات|قائمة بتكاملات التوابع المنطقة|قائمة بتكاملات التوابع غير المنطقة|قائمة بتكاملات التوابع المثلثية|قائمة بتكاملات التوابع الأسية|قائمة بتكاملات التوابع اللوغاريثمية|قائمة بتكاملات التوابع القوسية|قائمة بتكاملات التوابع المساحية|خدع اللا نهاية

متغيرات متعددة
إشتقاق جزئي| تكامل بالأقراص| تكامل بالإسطوانات| قرن غابرييل| مصفوفة جاكوبي| مصفوفة هس| تقوس| نظرية غرين|نظرية الإنحراف| نظرية ستوك
متسلسلات

متسلسلة لانهائية| متسلسلة ماكلاورين، متسلسلة تايلور| متسلسلة فورييه| صيغة اويلر ماكلاورين

حساب التفاضل و التكامل غير القياسي

حساب التفاضل والتكامل غير القياسي| كمية متناهية في الصغر| هكذا إستعمل أرخميدس الكميات اللامتناهية في الصغر

تاريخ التفاضل و التكامل

عدد لامتناهي| غوتفريد لايبنتز| إسحاق نيوتن| طريقة الجريان| حساب التفاضل والتكامل اللامتناهي الصغر| ساقية تايلور| كولن ماكلاورين| ليونارد اويلر

  1. ^ Nemes, Gergő (2010), "On the Coefficients of the Asymptotic Expansion of n!", Journal of Integer Sequences 13 (6): 5 pp. 
  2. ^ http://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/letter.pdf
  3. ^ Toth, V. T. Programmable Calculators: Calculators and the Gamma Function (2006)
  4. ^ Nemes, Gergő (2010), "New asymptotic expansion for the Gamma function", Archiv der Mathematik 95 (2): 161–169, doi:10.1007/s00013-010-0146-9, ISSN 0003-889X.