تكعيبية تشيرن‌هاوز

في الهندسة، تكعيبية تشيرن‌هاوز Tschirnhausen cubic أو تكعيبية تشيرن‌هاوزن Tschirnhausen cubic هي منحنى مستوي مُعـَرَّف في صيغته المنفتحة من اليسار، بالمعادلة القطبية

تكعيبية تشيرن‌هاوز، حالة a = 1

$r=a\sec ^{3}(\theta /3)$

حيث sec هي دالة القاطع).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 التاريخ

المنحنى درسه فون تشيرن‌هاوز و دى لوپيتال، و كتلان. وقد أُعطِيت الاسم "تكعيبية تشيرن‌هاوز" في ورقة بحثية سنة كتبها R C Archibald، إلا أنها أحياناً تُعرف بإسم "تكعيبية دى لوپيتال" أو القواطع الثلاث لكتلان trisectrix of Catalan‏.

 معادلات أخرى

Put $t=\tan(\theta /3)$. ثم تطبيق triple-angle formulas يعطي

$x=a\cos \theta \sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}=a(\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}-3\cos {\frac {\theta }{3}}\sin ^{2}{\frac {\theta }{3}})\sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}=a\left(1-3\tan ^{2}{\frac {\theta }{3}}\right)$

$=a(1-3t^{2})$

$y=a\sin \theta \sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}=a\left(3\cos ^{2}{\frac {\theta }{3}}\sin {\frac {\theta }{3}}-\sin ^{3}{\frac {\theta }{3}}\right)\sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}=a\left(3\tan {\frac {\theta }{3}}-\tan ^{3}{\frac {\theta }{3}}\right)$

$=at(3-t^{2})$

giving a parametric form for the curve. The parameter t can be eliminated easily giving the Cartesian equation

$27ay^{2}=(a-x)(8a+x)^{2}$.

If the curve is translated horizontally by 8a and the signs of the variables are changed, the equations of the resulting right-opening curve are

$x=3a(3-t^{2})$

$y=at(3-t^{2})$

and in Cartesian coordinates

$x^{3}=9a\left(x^{2}-3y^{2}\right)$.

This gives the alternative polar form

$r=9a\left(\sec \theta -3\sec \theta \tan ^{2}\theta \right)$.

 المراجع

• J. D. Lawrence, A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover, 1972, pp. 87-90.

 وصلات خارجية

• Eric W. Weisstein, Tschirnhausen Cubic at MathWorld.
• "Tschirnhaus' Cubic" at MacTutor History of Mathematics Archive
• Tschirnhausen cubic at mathcurves.com

قالب:Algebraic-geometry-stub