عدد كاتالان

لمعلومات عن names of numbers in Catalan، انظر List of numbers in various languages#Occitano-Romance.

في الرياضيات، تشكل الأعداد الكاتلانية إنگليزية: Catalan numberscode: en is deprecated سلسلة من الأعداد الطبيعية التي تظهر في العديد من مسائل العد والتي غالباً ما تحتوي على أجسام معرفة بشكل عودي. تم تسمية الأعداد الكاتلانية على اسم الرياضياتي البلجيكي أوجين شارل كاتالان (1814 - 1894).

The C₅=42 noncrossing partitions of a 5-element set (below the other 10 of the 52 partitions)

يعطى العدد الكاتلاني ذو الترتيب n بشكل مباشر باستخدام الصيغة العاملية التالية:

$C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n+1)!\,n!}}\qquad {\mbox{ for }}n\geq 0.$

حيث تعطى الأعداد الأولى من سلسلة الأعداد الكاتلانية بالشكل: 1 - 1 - 2 - 5 - 14 - 42 - 132 - 429 - 1430 - 4862 - 16796 - 58786 - 208012 - ...

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 تطبيقات في التوافيق

The associahedron of order 4 with C₄=14 vertices

 برهان الصيغة

 مصفوفة هنكل

The n×n Hankel matrix whose (i, j) entry is the Catalan number C_i+j−2 has determinant 1, regardless of the value of n. For example, for n = 4 we have

$\det {\begin{bmatrix}1&1&2&5\\1&2&5&14\\2&5&14&42\\5&14&42&132\end{bmatrix}}=1.$

Moreover, if the indexing is "shifted" so that the (i, j) entry is filled with the Catalan number C_i+j−1 then the determinant is still 1, regardless of the value of n. For example, for n = 4 we have

$\det {\begin{bmatrix}1&2&5&14\\2&5&14&42\\5&14&42&132\\14&42&132&429\end{bmatrix}}=1.$

Taken together, these two conditions uniquely define the Catalan numbers.

 التاريخ

Eugène Charles Catalan

 انظر أيضا

• Associahedron
• Bertrand's ballot theorem
• Binomial transform
• Partition related number triangles

• معضلة كاتالان
• عدد كاتالان-مرسن
• List of factorial and binomial topics

• Lobb numbers
• عدد نارايانا
• Schröder–Hipparchus number
• Tamari lattice

 الهامش

• Conway and Guy (1996) The Book of Numbers. New York: Copernicus, pp. 96–106.
• Gardner, Martin (1988), Time Travel and Other Mathematical Bewilderments, New York: W.H. Freeman and Company, pp. 253–266 (Ch. 20), ISBN 0-7167-1924-X 
• Koshy, Thomas (2008), Catalan Numbers with Applications, Oxford University Press, ISBN 0-19-533454-X, http://www.amazon.com/Thomas-Koshy/e/B001H6NZT4/ref=ntt_athr_dp_pel_1 
• Koshy, Thomas & Zhenguang Gao (2011) "Some divisibility properties of Catalan numbers", Mathematical Gazette 95:96-102.
• Larcombe, P.J. (1999) "The 18th century Chinese discovery of the Catalan numbers", Mathematical Spectrum 32:5-7.
• Stanley, Richard P. (1999), Enumerative combinatorics. Vol. 2, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 62, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-56069-6, http://www-math.mit.edu/~rstan/ec/ 
• Egecioglu, Omer (2009), A Catalan-Hankel Determinant Evaluation, http://www.cs.ucsb.edu/~omer/DOWNLOADABLE/catalan_hankel09.pdf 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 وصلات خارجية

• Stanley, Richard P. (1998) (PDF), Catalan addendum to Enumerative Combinatorics, Volume 2, http://www-math.mit.edu/~rstan/ec/catadd.pdf 
• Eric W. Weisstein, Catalan Number at MathWorld.
• Dickau, Robert M.: Catalan numbers Further examples.
• Davis, Tom: Catalan numbers. Still more examples.
• Schmidthammer, Jürgen: Catalan-Zahlen Zulassungsarbeit zum Staatsexamen (PDF-File; 7,05 MB)
• "Equivalence of Three Catalan Number Interpretations" from The Wolfram Demonstrations Project [1]