تحويل لجاندر

في الرياضيات والفيزياء، تحويل ليجاندر Legendre transformation، هو تحويل رياضي ينتسب إلى عالم الرياضيات أدريان ليجاندر يختص بتحويل التماس ويشكل طريقة حسابية هامة لتحويل المتغيرات في الدوال الرياضية . فهو يحول دالة من نوع $f(x)$ إلى دالة $g(u)$

Diagram illustrating the Legendre transformation of the function $\scriptstyle f(x)\!$, shown in red. $\scriptstyle f^{\star }$ is the value of the Legendre transform $\scriptstyle f^{\star }(p_{0})$, where $\scriptstyle p_{0}={\dot {f}}(x_{0})$, and is found by the intersection of the tangent line at point $\scriptstyle (x_{0},\ f(x_{0}))$ (shown in blue) with the vertical axis at $\scriptstyle (0,\ -f^{\star })$. Note that for any other point on the red curve, a line drawn through that point with the same slope as the blue line will have a y-intercept above the point $\scriptstyle (0,\ -f^{\star })$, showing that $\scriptstyle f^{\star }$ is indeed a maximum. Alternatively, $\scriptstyle f^{\star }$ is the vertical distance at $\scriptstyle x_{0}$ between the red line and the blue line shifted up to pass through the origin, i.e. the maximum value of $\scriptstyle px-f(x)$.

حيث ينشأ المتغير $g$ من مشتقة الدالة $f$.

أي أن:

$u={\tfrac {\partial f}{\partial x}}$

وبالعكس:

$x=\pm {\tfrac {\partial g}{\partial u}}$.

ويمكن كتابة معادلات قبل وبعد التحويل كالآتي:

$g(u)=\pm \left[u\,x(u)-f(x(u))\right]\ ,\quad f(x)=x\,u(x)\mp g(u(x))$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 استنباطه

الغرض من تحويل ليجاندر هو تغيير اعتماد دالة $f(x)$ على المتغير $x$ إلى اعتمادها على متغير آخر $u$ حيث:

$u={\frac {\partial f}{\partial x}}$

فعندما نصيغ الدالة $f(x)$ المعتمدة على $x$

$\mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial x}}\,\mathrm {d} x=u\,\mathrm {d} x$,

يصبح الدالة $g(u)$ أيضا معتمدة على المتغير $u$ .

$\mathrm {d} g=\pm x\,\mathrm {d} u$

وعندما نقوم بمعلية التفاضل الكلي ل $(\pm ux)$ نحصل على:

$\mathrm {d} (\pm ux)=\pm (x\,\mathrm {d} u+u\,\mathrm {d} x)$.

وبالمقارنة ب $\mathrm {d} f$ و $\mathrm {d} g$

نحصل على:

$\mathrm {d} (\pm ux)=\mathrm {d} g\pm u\,\mathrm {d} x=\mathrm {d} g\pm \mathrm {d} f$.

أي أن:

$\mathrm {d} g=\mathrm {d} (\mp f\pm ux)$,

وبعد إجراء التكامل نحصل على:

$g(u)=\pm (-f(x(u))+ux(u))$.

وتسمى الدالة $g(u)$ دالة ليجاندر المحولة من الدالة $f$ . ولا أهمية لإشارة الدالة $g$

لذلك يمكننا كتابة

$g=ux-f$ oder $g=f-ux$

ويعتمد اختيار الإشارة على المعني الفيزيائي للدالة $g$ .

 معناه الهندسي

سنوضح تحويل ليجاندر بواسطة الرسم المرسوم أعلاه : يمكن رسم المنحنى الأحمر عن طريق استبدال كل نقاطه بتحويلات ليجاندر التي تعطينا عددا كبيرا من المماسات التي تحيط وتمس المنحنى الأحمر. وهذا ما تقوم به تحيلات ليجاندر . فالدالة الناتجة $g(u)$ ترتب ميل الممسات $u$ لكل نقطة بحسب تقاطع خط التماس مع المحور Y . إذاّ فتلك الممسات تصف المنحني وصفا كاملا - ولكن باستخدام إحداثية أخرى ، وهي $u$ بدلا من $x$.

 في حالة عدة متغيرات

يتغير اعتماد دالة $f(x,y)$ تعتمد على المتغير $x$ إلى متغير آخر $u$ عن طريق التفاضل الجزئي للدالة $f$ بالنسبة إلى $x$ كالآتي:

$u={\frac {\partial f}{\partial x}}$.

ويمثل فيها $u(x,y)$ الميل الهندسي في الاتجاه x من الدالة $f(x,y)$ .

ذلك نتحدث عن تحويل ليجااندر بأنه "تحويل مماسات " . وتسمى الدالة $F(u,y)$

"دالة ليجراند المحولة" .

ويمكننا استنباط دالة ليجراند المحولة كالآتي: يمكن كتابة الدالة $f(x,y)$ على الصورة :

$f(x,y)\approx f(x_{0},y)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\Delta x,\;\Delta x=x-x_{0}$

وإذا عرّفنا $f(x_{0},y)\equiv F(u,y)$, حصلنا على دالة ليجراند المحولة :

$F(u,y)=f(x,y)-{\frac {\partial f}{\partial x}}\Delta x$.

في أغلب أحوال توضع $x_{0}=0$ ونحصل على :

$F(u,y)=f(x,y)-{\frac {\partial f}{\partial x}}x$.

بالنسبة إلى التعريف الأخير يكون الجزء $y$ لنقطة المماس على $f(x,y)$ مع اتخاذ المستوي $x=0$ هي دالة ليجراند المحولة . وتوصف الدالات في ذلك المستوي بأنها "مقطع المحور" .

أي ينشأ تبديل المتغيرات من خلال طرح حاصل ضرب الإحداثيات الأولية و الجديدة < math>u x</math> من الدالة الأصلية :

$F(u,y)=f(x,y)-ux$.

ويبدو ذلك واضحا عند مشاهدة إلى التفاضل الكلي لدالة ليجاندر المحولة :

$\mathrm {d} (f(x,y)-ux)=\mathrm {d} f(x,y)-x\,\mathrm {d} u-u\,\mathrm {d} x={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathrm {d} y-x\mathrm {d} u-u\mathrm {d} x={\frac {\partial f}{\partial y}}\mathrm {d} y-x\,\mathrm {d} u=\mathrm {d} F(u,y)$.

 تطبيقاته

يطبق تحويل ليجاندر في الفيزياء في مسائل الترموديناميكا الإحصائية ، مثل تحويل معادلات الانتقال بين الجهود الترموديناميكية تحت طروف معينة وكذلك عند الانتقال من دالة ليجاندر إلى ميكانيك هاميلتون أو إلى ميكانيك لاغرانج .

وفي علم الحركة الحرارية نستخدمها مع اختيار الإشارة السفلى ، أي بوضع ($g=f-ux$).

ويقوم تحويل ليجاندر - وكذلك تحويل نقاط الممسات بصفة عامة - بوظية هامة ي الميكانيكا و حساب التغيرات وفي نظرية المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى . وعند استخدام دالة ليجراندر المحولة في الميكانيكا نستخدم الإشارة العليا في المعادلة ($g=ux-f$) طبقا للمتفق عليه.

 مثـال دالة هاميلتون

في الميكانيكا نستنبط معادلة هاميلتون من معادلة لاغرانج عن طريق استخدام تحويل ليجاندر:

$H(q,p)=p\,{\dot {q}}(q,p)-L(q,{\dot {q}}(q,p))\quad {\text{with}}\quad p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}$

وفي الترموديناميكا يمكننا عن طريق تحويل ليجاندر استنباط الجهد الترمويناميكي من المعادلات الأساسية للترموديناميكا. عندئذ يمكن الانتقال من الطاقة الداخلية U (وهي تعتمد على الإنتروبيا) S إلى طاقة هيلمهولتز F التي تعتمد على درجة الحرارة T:

$F(T,V,N)=U(S,V,N)-\left({\frac {\partial U}{\partial S}}\right)_{V,N}\cdot S=U-TS$

وهنا يختص تفاضل المعادلة (U(S,V,N بانسبة لإنتروبيا S, حيث نضع كلا من V و N كثوابت .

بالمثل نستخدمها عند دراسة جهد ترموديناميكي و تحوله إلى جهد آخر ، مثلما يحدث عند الانتقال من الإنثالبي H إلى طاقة جيبس G:

$G(T,p,N)=H(S,p,N)-\left({\frac {\partial H}{\partial S}}\right)_{p,N}\cdot S=(U+pV)-TS$

وبالمثل نستطيع الحصول على جهود ترموديناميكية أخرى أننا عن طريق تحويل ليجاندر نستطيع الانتقال إلى إحداثيات معممة والتي عن طريقها يمكننا استبدالها بالقوة الترموديناميكية المقترنة.

 أمثلة الدالة الأسية

ملف:LegendreExample.png

رسم الرسم البياني للدالة e^x بخط أحمر ، ورسمت دالة تحويل ليجاندر لها بنقاط زرقاء .

الدالة الأسية e^x

لها دالة تحويل ليجاندر  x ln x − x&nbsp حيث أن مشتقاتها الأولى e^x و  ln x معكوسة بالنسبة لبعضها . وهذا يبين أن ليس من الضروري أن يتفق الحيزين الرياضييين للدالتين مع بعضهما .

كذلك بالنسبة إلى الدالة التربيعية :

$f(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\,x^{T}\,A\,x$

حيث A مصفوف متناظر غير متغير (مصفوف n-في-n) ودالة تحويل ليجاندر له هي:

$f^{\star }(y)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\,y^{T}\,A^{-1}\,y$

 انظر أيضاً

• Dual curve
• Projective duality
• Young's inequality
• Convex conjugate
• Moreau's theorem

 المصادر

• Arnol'd, Vladimir Igorevich (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics (second edition). Springer. ISBN 0-387-96890-3.
• Rockafellar, R. Tyrrell (1996). Convex Analysis (paperback republication of 1970 ed.). Princeton University Press. ISBN 0-691-01586-4.
• Zia, R. K. P.; et al. (2009). "Making Sense of the Legendre Transform". arXiv:0806.1147. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help); Explicit use of et al. in: |author= (help)

 وصلات خارجية

• Touchette, Hugo (2005-07-27). "Legendre-Fenchel transforms in a nutshell" (PDF). Retrieved 2007-07-24.

• Touchette, Hugo (2006-11-21). "Elements of convex analysis" (PDF). Retrieved 2008-03-26.

• "Legendre transform with figures". Retrieved 2012-09-26.